Matematicas - Factorización

FACTOR COMUN
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

X³Y+X²X²-2XY=XY(X²+XY-2)

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS
Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:

AX+BX+AY+AY=(AX+BX)+(AY+BY)

=X(A+B)+Y(A+B)

=(A+B)(X+Y)

CASOS PARA TRINOMIOS
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:
• El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
• El segundo término es igual a dos vces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o difeencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza asi:

A²+2AB+B²=(A+-B)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:

X²-Y²=(X+Y)(X-Y)

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES
Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z

A^n-B^n/A-B

si n es par y

A^n-B^n/A+B

si n es impar

A^n+B^n/A+B

se factoriza asi: si n pertenece a z

A^n-B^n=(A-B)(A^n-1+A^n-2B+A^n-3B²+...+A^n-nB^n-1)

si n es par

A^n-B^ n=(A+B)(A^n-1-A^n-2B+A^n-3B²-...-A^n-nB^n-1

si n es impar

A^n+B^n=(A+B)(A^n-1-A^n-2B+A^n-3B²...A^n-nB^n-1)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTOPOR ADICION O SUSTRACCION
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo:

M^4-10M²n²+9^4

resolviendolo nos queda:

M^4-10M²n²+9n4+4M²n²-4M²n²

M^4-6M²n²+9n^4-4M²n²

(M²-3n²)²-(2Mn)²


Aplicamos diferencia de cuadrados:

[(M²-3n²)+2Mn][(M²-3n²)-2Mn]

TRINOMIO CUADRADO DE LA FORMA X²^n+BX^n+C
Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:
• Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
• El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
• La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
• Existen dos números que :

M+m=BYM.m=C

es decir:

X²+BX^n+C=(X^n+M)(X^n+M)

TRINOMIO DE LA FORMA AX²^n+BX²^n+C
Debe cumplir con las siguientes características:
• Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
• El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
• La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
• Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

X²^n+BX^n+C

de la siguiente forma:

AX²^n+BX^n+C

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

A(AX²n+BX^n+C)/A

y se opera, dando como resultado:

(AX^n)²+B(AX^n)+AC/A

y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³

y

(A-B)³=A³-3A²B+3AB²-B³

es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:
• Debe tener cuatro términos.
• Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
• Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
• Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .
Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:

(1+12A+48A²+64A³)

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Para esto debemos recordar que:

A³+B³/A+B=A²-AB+B²

y

A³-B³/A-B=A²+AB+B²

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
• La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.


SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulacion de:
•A^n-B^n es divisible por A-B siendo n un número par o impar
•A^n+B^n es divisible por A+B siendo n impar
•A^n-B^n es divisible por A+B siendo n par
•A^n+B^n nunca es divisible por A-B

Ejemplo:

M^5+n^5

se divide por

M+n

y tenemos:

M^5+n^5/M+n=M^4-M³n+M²n²-Mn³+n^4

y obtenemos como respuesta:

M^5+n^5=(M+n)(M^4-M³n+M²n²-Mn³+n^4)

CASOS PARA POLINOMIOS
Agrupación de términos:Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:

2AB+2A-B-2AC+C-1

resolviendolo nos queda:

(2AB-2AC+2A)-(B-C+1)

2A(B-C+1)-(B-C+1)

(B-C+1)-(2A-1)

EJERCICIOS:
1) a2b - ab2 =
2) 6p2q + 24pq2 =
3) 12x3y - 48x2y2 =
4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=
5) 1/4ma + 1/4mb + 1/4mc=
6) 1/5x³ + 1/10x² - 1/15x=
7) x2 - 8x + 16 =
8) 16y2 + 24y + 9 =
9) 36a2 - 12a + 1 =
10) 4x2 + 20xy + 25y2 =
11) 16x2 - 25y2 =
12) 144 - x2y2 =
13) 36 - 25a2 =
14) 25 - 4a2 =
15) 16m2n2 - 9p2 =
16) x2 - 4x + 3 =
17) x2 - 2x - 15 =
18) x2 - 7xy - 18y2 =
19) 12 - 4x - x2 =
20) 5x2 - 11x + 2 =
21) 6x2 - 7x - 5 =
22) 12x2 + 17x - 5 =
23) 7u4 - 7u2v2 =
24) kx3 + 2kx2 - 63kx =
25) 5x3 - 55x2 + 140x =
26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 =
27) 7hkx2 + 21 hkx + 14hk =
28) wx2y - 9wxy + 14wy =
29) 2x3 + 10x2 + x + 5
30) px + py + qx + qy =
31) 3x3 + 12x2 - 2x - 8
32) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 =
33) x3 – 27 =
34) 125x3 + y3 =
35) 8y3 + z 3 =
36) 64 – y3 =


Respuestas:

1) ab(a - b)
2) 6pq(p + 4q)
3) 12x2y(x - 4y)
4) 9mn(m + 2n - 3)
5) 1/4m(a + b + c)

6) 1/5x(x² + 1/2x - 1/3)
7) (x - 4)2
8) (4y + 3)2
9) (6a - 1)2
10) (2x + 5y)2
11) (4x - 5y)(4x + 5y)
12) (12 + xy)(12 - xy)
13) (6 + 5a)(6 - 5a)
14) (5 + 2a)(5 - 2a)
15) (4mn + 3p)(4mn - 3p)
16) (x - 3)(x - 1)
17) (x - 5)(x + 3)
18) (x - 9y)(x + 2y)
19) (6 + x)(2 - x)
20) (5x - 1)(x - 2)
21) (3x - 5)(2x + 1)
22) (4x -1)((3x + 5)
23) 7u2(u2 - v2) = 7u2(u + v)(u - v)
24) kx(x2 + 2x -63) = kx(x + 9)(x - 7)
25) 5x(x2 - 11x +28) = 5x(x - 4)(x - 7)
26) 4m2(n2 + 6n - 7) = 4m2(n + 7)(n - 1)
27) 7hk(x2 + 3x + 2) = 7hk(x + 1)(x +2)
28) wy(x2 - 9x + 14) = wy(x - 2)(x - 7)
29) (2x2 + 1)(x + 5)
30) (p + q)(x + y)
31) (3x2 – 2)(x + 4)
32) (x2 + 4)(3x + 2)
33) (x – 3)(x2 + 3x + 9)
34) (5x + y)(25x2 – 5xy + y2)
35) (2y +z)(4y2 – 2yz + z2)
36) (4 – y)(16 + 4y + y2)



JUEGO:


Este juego está diseñado para que jueguen desde uno hasta cuatro jugadores, y cada grupo debe tener un tablero y dieciséis tarjetas con polinomios como las que vienen a continuación

Tablero:

Reglas del juego:

1) Se barajan las 16 tarjetas y se colocan boca abajo sobre la mesa y cada jugador, por turno, elige una tarjeta hasta totalizar cuatro de ellas.

2) Los jugadores factorizan sus polinomios, y buscan, en la sopa de factores que aparece en el tablero, los factores consecutivos de cada factorización y los marcan.

3) Gana el jugador que consigue marcar primero las descomposiciones de sus cuatro polinomios, en un tiempo fijado de antemano. Si nadie lo ha conseguido será ganador el que más polinomios haya descompuesto.

Explicación del juego:

Esta actividad se basa en el conocido pasatiempo de "Sopa de Letras", un juego clásico que puede readaptarse y ser utilizado en clase de Matemáticas. Según la clasificación utilizada por el profesor Fernando Corbalán pertenecería a los Juegos de Procedimiento Conocido con Modificaciones, pues sus reglas generales son conocidas por los alumnos fuera del ámbito escolar. En nuestra adaptación proponemos que los alumnos trabajen la factorización de polinomios por lo que las palabras se sustituyen por polinomios y las letras de la sopa por factores.

Los objetivos que pretendemos con este juego son los siguientes:

1) Factorizar polinomios de grado tres con dificultades de todo tipo (raíces reales simples, raíces dobles o triples, factores del tipo ( ), factor x, factores ( )), usando factores comunes, el teorema del factor o la regla de Ruffini.

2) Comprobar que hay polinomios que no pueden factorizarse totalmente en factores de grado 1, razonando el porqué.

3) Trabajar el cálculo mental.

4) Trabajar la relación raíz (o solución o cero) de un polinomio con la de factor y viceversa.

5) Resolver ecuaciones.

La presentación de esta actividad permite modificaciones sobre la que hemos presentado. Así, los polinomios que aparecen en las tarjetas no tienen por qué ser todos de grado tres, se pueden colocar de distintos grados aunque entonces habría que modificar la regla 3), pues la suerte en la elección puede hacer que se necesite más tiempo según los polinomios que toquen. También se pueden modificar los polinomios no incluyendo factores de grado superior a uno.

Una dificultad que presenta el juego tal como está planteado son aquellos polinomios cuyos coeficientes principales son negativos, pues al descomponer en factores el alumno debe decidir en cuál de los tres tiene que incluir el signo menos y para ello tiene que fijarse muy bien en el tablero. Esto puede simplificarse poniendo todos los polinomios con coeficiente principal positivo.

La dinámica del juego también puede cambiarse, modificando las reglas de juego que podrían ser las siguientes:

1) Las tarjetas se barajan y se colocan boca abajo sobre la mesa.

2) El jugador que tiene el turno toma una tarjeta y descompone el polinomio, señalando los factores en la sopa. Si lo hace correctamente se anota un punto y pasa el turno al siguiente jugador y la tarjeta utilizada es eliminada del juego.

3) Si el jugador no sabe descomponer el polinomio pierde su turno y no se anota ningún punto. El jugador siguiente tiene la oportunidad de descomponer el polinomio ganando un punto extra por rebote. En caso de no hacerlo pasaría a su siguiente.

4) Si el jugador que le toca se equivoca en su descomposición y algún contrincante lo descubre, el jugador pierde su turno y el contrario se anota un punto por haber hecho correctamente la descomposición.

5) La partida acaba después de haber dado cuatro rondas, pasando por todos los jugadores. Gana quien tenga más puntuación.

También podría jugarse sin tarjetas, solamente utilizando el tablero. Jugarían dos alumnos y cada uno de ellos con el tablero por delante, construiría cuatro polinomios eligiendo dos o tres factores del tablero. Después los jugadores se intercambian los polinomios para factorizarlos y señalarlos en la sopa de factores. El primero que consiga señalar los cuatro polinomios gana la partida.

Con esta modalidad, antes de la factorización hay que repasar las operaciones de suma, resta y producto de polinomios.

Hay una última variante que podemos presentar. Una vez consolidada la factorización y conocidas las reglas del juego éstas se pueden variar para trabajar el concepto de raíz (o solución o cero) de un polinomio, y relacionarlo con los factores de ese mismo polinomio, de modo que en vez de buscar en la sopa los factores del polinomio correspondiente se busquen sus raíces reales.

De esta forma, al descomponer por ejemplo el primer polinomio:

x³-2x²-x+2 = (x-1)•(x+1)•(x-2) señalamos sus raices.

En esta modalidad hay polinomios, como el 2º, que sólo tienen una raíz real y por lo tanto sólo se marcaría una casilla en la sopa; y otros, como el 9º, con raíces múltiples donde se marcaría la misma raíz tantas veces como su multiplicidad.

ECUACIONES COMPROBADAS GRAFICAMENTE:

1b-1ab = b(1-a). Que es un caso de factor camun:

Inicialmente detallemos que significa para nosotros (1-a)

Presentemos, ahora si, la expresión, antes de Factorizar.

Finalicemos con la expresión factorizada.

USOS GENERALES:

La factorizacion es una parte muy importante en las ciencia, pues es utilizada en las ramas del conocimiento tales como la Fisica y la Quimica, ademas del Calculo, para despeje de ecuaciones, graficos y aplicaciones matematicas mas complicadas.




PAGINAS INTERACTIVAS
En estas paginas podra encontrar juegos e informacion que hara que tu aprendisaje sea mas dinamico:

www.colombiaaprende.edu.co/html/sitios/1610/propertyvalue-21352.html
www.alpertron.com.ar/ECMC.HTM
redexperimental.gob.mx/descargar.php?id=248
juegosdeingenio.org/archivo/535
www.abcdatos.com/tutoriales/tutorial/z3257.html

"El aprendizaje interactivo es una herramienta mas que te puede ayudar, no esperes buenos resultados si no has dado todo de ti."

 

BIBLIOGRAFIA: http://ejma-brujos.blogspot.com/2007/07/todo-sobre-factorizacion.html